懸索橋計(jì)算數(shù)值方法研究
2018-01-22
前言
對(duì)于大跨度懸索橋的施工控制需要確定懸索橋主纜的初始理想狀態(tài)以及成橋狀態(tài)，通常計(jì)算都采用有限元法和解析法，有限元法一般根據(jù)成橋的線形和受力情況，迭代出空纜狀態(tài)的線形和受力；解析法則根據(jù)成橋設(shè)計(jì)線形計(jì)算主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度，利用任何情況下主纜的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度不變的原理計(jì)算結(jié)構(gòu)參數(shù)，一般在解析法在數(shù)學(xué)方法上采用牛頓迭代法或擬牛頓法進(jìn)行計(jì)算。
本文結(jié)合主纜的實(shí)際情況：采用分段懸鏈線法計(jì)算，此法是考慮除主纜外的一期恒載及二期恒載作為多個(gè)集中力作用在各吊點(diǎn)處，主纜在各吊點(diǎn)之間線形為懸鏈線。并在計(jì)算結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)考慮主纜的自重約束方程，即荷載集度在施工過程中不斷的變化，主纜總的質(zhì)量不變；根據(jù)主纜在主索鞍處的受力情況，以及中邊跨空纜與成橋狀態(tài)下無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度相等；在數(shù)學(xué)方法上進(jìn)行改進(jìn)，采用精度更高、收斂更快、計(jì)算更穩(wěn)定的新Aitken迭代方法和同倫算法計(jì)算懸索橋的結(jié)構(gòu)參數(shù)。
1.分段懸鏈線的計(jì)算方法
1.1 基本假定：
?。?）主纜材料為線彈性，符合胡克定律；
?。?）主纜是是理想柔性的，只能承受拉力，不能受壓，截面抗彎剛度對(duì)主纜線形影響忽略不計(jì)；
?。?）忽略主纜橫截面在變形前后的變化；
通過以上假定，主纜的自重恒載集度沿主纜索長(zhǎng)為常量，但變形前后可以不一樣。
1.2 分段懸鏈線法原理
考慮加勁梁的一期恒載及二期恒載作為多個(gè)集中力作用在各吊點(diǎn)處，此時(shí)主纜線形在各吊點(diǎn)之間為懸鏈線，取任意兩吊點(diǎn)間自由懸索建立坐標(biāo)系，以豎向?yàn)?方向，向下為正，水平向?yàn)?方向，向右為正，主纜上任意一點(diǎn)的拉格朗日坐標(biāo)為 ，對(duì)應(yīng)的笛卡兒坐標(biāo)為( , )，如圖1所示。
式中： 為成橋狀態(tài)主纜集度， 、 分別為塔頂主纜水平力和豎直力；
1.3 利用數(shù)學(xué)方法Aitken迭代計(jì)算豎向力
工程中常常會(huì)遇到許多非線性方程求根的問題，對(duì)于這一類的問題，一般不能用解析方法求得其解，而只能利用數(shù)值方法求得其近似解，目前常用的是牛頓迭代法，本文將Aitken迭代法結(jié)合實(shí)際工程，運(yùn)用其求解，與牛頓迭代法進(jìn)行比較。
本文采用了一種新的Aitken迭代法，新算法將二分法和迭代法結(jié)合起來(lái)，先用二分法預(yù)報(bào)初值，當(dāng)區(qū)間縮小到一定程度時(shí)再用改進(jìn)的Aitken算法迭代。
1.3.1 計(jì)算豎向力
假定索鞍水平力初值 、豎向力 和 可以通過式(2)求得 ，式(3)可求得 ，再由 通過式(2)求得 ，式(3)求得 ，按類似的方法進(jìn)行計(jì)算，一直計(jì)算到 ，并對(duì) 和 進(jìn)行修正，計(jì)算 。直到 , 為收斂精度，且同時(shí)滿足跨中斜率為0。
1.3.2Aitken迭代法求解
?。?）一般Aitken算法
1）簡(jiǎn)單迭代格式：= ， ；
2）加速迭代格式： ；
如果 則將 賦值給 ，并修正 ( ＝ + ）；重復(fù)上面的式（1），（2）直到滿足精度要求，迭代停止，輸出 、 。
觀察圖2在相同初始迭代值、相同精度要求下，通過三種不同的數(shù)值迭代方法計(jì)算，新Aitken算法二階收斂，與牛頓法相比，新算法在迭代過程中，不需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值，減少了工作量，計(jì)算結(jié)果表明新的Aitken算法相比一般的Aitken算法和牛頓算法更快收斂，計(jì)算時(shí)可以節(jié)約計(jì)算時(shí)間。
2.空纜狀態(tài)下結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算
2.1 主索鞍預(yù)偏量計(jì)算
主索鞍預(yù)偏量的計(jì)算原則:保證各跨主纜無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)空掛于主索鞍上，主纜在主索鞍槽內(nèi)不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。下面針對(duì)大跨度單跨不對(duì)稱懸索橋, 根據(jù)無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度不變的原則列出下面的變形協(xié)調(diào)條件，自重約束條件和力學(xué)平衡條件:
?。?）幾何變形協(xié)調(diào)條件：中、邊跨主纜無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度在任何階段、任何狀態(tài)都保持不變。
（2）自重約束條件：主纜的重量在任何狀態(tài)下都保持不變。設(shè)主纜無(wú)應(yīng)力狀態(tài)時(shí)集度為 ，無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度為 ，成橋狀態(tài)時(shí)集度為 ，主纜索長(zhǎng)為 ，空纜狀態(tài)時(shí)集度為 ，主纜索長(zhǎng)為 則有：
?。?） 力學(xué)平衡條件：空纜在索鞍兩側(cè)的水平力相等，設(shè)左索鞍預(yù)偏量為 ，右索鞍預(yù)偏量為 。
?。?）根據(jù)式（1）、（2）、（3）得到以下方程組：
式中： , 表示左、右邊跨空纜時(shí)索長(zhǎng)， , 表示左、右邊跨成橋時(shí)索長(zhǎng)， 表示左、右邊跨無(wú)應(yīng)力自重集度， 分別為中跨、左邊跨、右邊跨主纜在空纜、成橋時(shí)伸長(zhǎng)量， 、 表示左、右邊跨成橋時(shí)自重集度。
式（4）中第一式和第二式可以采用新Aitken迭代法求解左、右邊跨主纜成橋集度，聯(lián)立第三式至第八式得到非線性方程組。工程計(jì)算中，經(jīng)常遇到需要求解非線性方程組的問題，非線性方程組的收斂速度及收斂性都比線性方程組要差。在求解非線性方程組時(shí)，牛頓迭代法是比較經(jīng)典的方法，其在局部收斂點(diǎn)附近是平方收斂的，但其解與初始解有關(guān)，且迭代過程中需要求導(dǎo)，計(jì)算量非常大且有時(shí)會(huì)出現(xiàn)計(jì)算困難。本文提出采用同倫算法，是基于其在大范圍收斂，并對(duì)初始值沒有嚴(yán)格限制，其思想是從容易求解的方程組開始，逐步過渡到原方程組的求解，最終求得方程組的近似解，下面簡(jiǎn)單介紹一下同倫算法的相關(guān)內(nèi)容：
設(shè)非線性方程組為： ，其解為 。
（1）構(gòu)造泛函 ：； 定義為：(其中： 為任意給的初值，假定為 函數(shù)（ )；
?。?）對(duì)于 的方程 ，當(dāng) 時(shí)， ； 是方程的解；當(dāng) 時(shí)， ； 是方程的解，即 = ；
?。?）基于這個(gè)思想最后得如下關(guān)系式： ( ，對(duì)初始值 )； 為雅可比矩陣，對(duì) 在 上積分，就可得到 = ；上面的非線性方程組問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)值積分問題。
本文采用同倫算法求解非線性方程組，結(jié)合Matlab語(yǔ)言編寫求解程序，使用時(shí)只需修改相應(yīng)的雅可比矩陣和非線性方程組表達(dá)式，便可求解。
3.算例
本文編寫懸索橋通用計(jì)算程序，為說明本文程序正確性，下面通過算例進(jìn)行驗(yàn)算。
算例1. 江蘇江陰長(zhǎng)江大橋?yàn)橹骺?385m的單跨鋼箱梁懸索橋，中跨主纜的設(shè)計(jì)參數(shù)：E=1.9×1011Pa， A=0.9027m2，無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下的沿索長(zhǎng)的均布荷載集度q0=77.70kN/m；邊跨主纜的設(shè)計(jì)參數(shù)：Eb=1.9×1011Pa，Ab =0.9526m2，q0=81.99kN/m；
算例2. 貴州某大橋?yàn)橹骺?36m的單跨簡(jiǎn)支鋼桁梁懸索橋，結(jié)構(gòu)布置及幾何尺寸如圖3所示，成橋中跨主纜（單纜）的設(shè)計(jì)參數(shù)：E=2.0×1011Pa，A=0.16916m2，荷載集度q0=15.755kN/m；邊跨主纜荷載集度q0=15.01kN/m；
4.結(jié)語(yǔ)
?。?）在懸索橋的結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算中，本文考慮主纜自重約束方程，將主纜集度在不同的施工階段變化考慮進(jìn)去，計(jì)算更為精確。
（2）新Aitken迭代在相同精度要求下能減少迭代次數(shù)，降低計(jì)算量，并能克服發(fā)散現(xiàn)象，收斂速度快、計(jì)算精度高，初值選擇范圍大。
?。?）同倫算法能解決擬牛頓法是在一定條件下計(jì)算時(shí)超收斂的，穩(wěn)定性差，迭代效果不理想的問題，其收斂范圍也比牛頓算法擴(kuò)大了，而且精確度也比原算法提高了。本文在解析迭代計(jì)算中采用新Aitken迭代法和同倫算法結(jié)合實(shí)際工程，運(yùn)用其求解，通過比較發(fā)現(xiàn)其是非常有效的求解數(shù)值方法。
