3.懸索橋空纜線形計(jì)算的非線性有限元法

    懸索橋空纜線形計(jì)算的非線性有限元法主要有兩種方法。第一種是循環(huán)前進(jìn)分析法，就是事先假設(shè)懸索橋的主纜、吊索、主塔、加勁梁等構(gòu)件的無應(yīng)力長度及鞍座、索夾的預(yù)偏量。通過模擬施工過程，結(jié)構(gòu)體系轉(zhuǎn)換，用幾何非線性有限元方法計(jì)算得到成橋狀態(tài)的有關(guān)結(jié)構(gòu)幾何形狀參數(shù)，將其與設(shè)計(jì)的成橋狀態(tài)結(jié)構(gòu)幾何形狀參數(shù)進(jìn)行比較，若不滿足精度要求，則修改假定的主纜線形及鞍座、索夾的預(yù)偏量，重復(fù)上述計(jì)算過程，直到滿足精度要求為止。這樣就可以得到主纜的無應(yīng)力長度、初始線形及鞍座、索夾的預(yù)偏量等。

    第二種方法是倒拆分析法，就是將成橋狀態(tài)作為初始狀態(tài)，按照與實(shí)際施工架設(shè)順序完全相反的過程，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行倒拆。首先卸去橋面鋪裝，然后再逐一拆去加勁梁段，最后只剩下主纜、鞍座、主塔，逐次求出每一階段的平衡狀態(tài)，最后就得到懸索橋的空纜狀態(tài)。在倒拆分析中，作為計(jì)算的初始狀態(tài)一般根據(jù)設(shè)計(jì)條件是已知的(這對于懸索橋而言本身就是很困難的)，而且懸索橋是幾何非線性程度相當(dāng)高的結(jié)構(gòu)，這將會(huì)導(dǎo)致單用倒退分析確定懸索橋空纜線形結(jié)果失真，還需要用前進(jìn)分析進(jìn)行校核，只有前進(jìn)、倒退交互迭代，才能得到較準(zhǔn)確的空纜線形。

    3.1 用Ansys進(jìn)行非線性有限元分析的方法和步驟

    用Ansys進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和分析目的選擇適當(dāng)?shù)膯卧愋汀＞蛻宜鳂蚩绽|線形分析而言，主要關(guān)心的是主纜、主梁的位移以及吊桿的拉力等，而對于其他一些結(jié)構(gòu)細(xì)部的詳細(xì)應(yīng)力狀況暫時(shí)可以不考慮。這樣就可以將懸索橋簡化為平面的桿系結(jié)構(gòu)，既達(dá)到計(jì)算目的，又使計(jì)算簡單化，節(jié)省計(jì)算時(shí)間。

    在Ansys中提供了一種單元BEAM3，通過兩節(jié)點(diǎn)i，j 定義，其左右截面是完全對稱的，可以用來模擬主梁。懸索橋的索塔一般采用混凝土結(jié)構(gòu)，截面形狀上小下大，這就需要用BEAM54來模擬，BE八M54單元與BEAM3單元的主要區(qū)別在于前者可以表示左右截面特性不對稱的粱單元。在主梁截面有變化的地方也可以用BEAM54模擬。主纜可以用LINK1單元模擬。該單元是一個(gè)兩維的軸向拉壓直線桿單元，當(dāng)主纜單元?jiǎng)澐值煤苄〉臅r(shí)候，主纜垂度的影響就微乎其微了，筆者經(jīng)計(jì)算比較得知用這種單元模擬主纜的精度是能夠滿足要求的。

    大量計(jì)算研究表明，當(dāng)懸索橋各構(gòu)件的無應(yīng)力長度及作用在結(jié)構(gòu)上的荷載確定后，結(jié)構(gòu)最終的約束條件也是確定的，那么其最終狀態(tài)也是唯一確定的。反之，只要懸索橋的最終成橋狀態(tài)主纜線形和結(jié)構(gòu)內(nèi)力確定，其空纜線形也是唯一確定的，而與施工方法無關(guān)。因此在計(jì)算懸索橋空纜線形時(shí)，通過假設(shè)主纜初始位置和成橋線形，再計(jì)算出懸索橋各構(gòu)件的無應(yīng)力長度，可以假定一種比較簡單的施工過程（如全鉸接法）達(dá)到最終的成橋狀態(tài)，這樣就大大簡化了計(jì)算。

    用Ansys建模時(shí)，按假設(shè)的空纜線形及各構(gòu)件無應(yīng)力長度確定各單元坐標(biāo)，主纜和吊桿采用LINK1單元，索塔采用BEAM54單元。主梁一般采用BEAM3單元，在梁截面有變化的地方可以采用BEAM54單元，主梁分段處先采用兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)表示（如圖2所示），然后根據(jù)不同施工階段梁段間的約束情況用約束方程表達(dá)，如開始時(shí)各梁段只是各自獨(dú)立地懸掛在主纜上，彼此間并沒有聯(lián)系；第二步調(diào)整各段主梁位置，將梁段相接點(diǎn)鉸接，這時(shí)可以令梁段相接點(diǎn)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)縱向和豎向位移滿足一定的關(guān)系，使得發(fā)生位移后梁段相接處的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)重合，但繞2軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是自由的；最后使梁段相接處兩節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移相等，這樣各梁段就實(shí)現(xiàn)了剛接。
 

圖2 梁段位置示意圖

    通用有限元程序Ansys提供了兩種方法來處理特殊節(jié)點(diǎn)的自由度關(guān)系——節(jié)點(diǎn)耦合和約束方程。在懸索橋空纜線形分析時(shí)，主要注意主纜的線形和吊桿的拉力，因此可以按主索鞍上理論交點(diǎn)計(jì)算，令主索鞍上理論交點(diǎn)與塔頂點(diǎn)豎直方向自由度耦合，水平方向自由，就形成了主索鞍在塔頂上的隨受力情況不同的自由滑動(dòng)。對于搖軸式散索鞍，可以在這兩點(diǎn)之間設(shè)一剛性連桿；而對于滑動(dòng)式散索鞍，索鞍會(huì)沿一個(gè)斜面滑動(dòng)，可以令散索鞍理論交點(diǎn)的罡直和水平方向位移滿足一定的約束方程以滿足條件。

    至此，可以根據(jù)假設(shè)的主纜空纜線形和吊桿長度等數(shù)據(jù)建立有限元模型。求解時(shí)采用前進(jìn)分析方法可分為四個(gè)步驟：①首先將全部梁段安裝在主纜上（因?yàn)楹奢d分階段施加與一次施加的效果是相同的）；②再將各梁段相接點(diǎn)鉸接；③而后剛接；④最后是施加二期恒載。

    采用循環(huán)前進(jìn)分析法計(jì)算懸索橋空纜線形的方法和步驟，計(jì)算流程圖見圖3。如果經(jīng)多次循環(huán)誤差仍不能滿足要求，就應(yīng)該按最后一次有限元計(jì)算的結(jié)果反推空纜線形重新計(jì)算。這種方法力學(xué)概念明確，考慮了一、二期恒載均由主纜和加勁梁共同承擔(dān)的實(shí)際情況，能夠比較方便地模擬各關(guān)鍵工況下的主纜、主梁以及索塔的位移受力情況，也可以考慮溫度以及索塔變形對懸索橋空纜線形的影響。但計(jì)算中鞍座的模擬是困難的，無論采用多個(gè)剛性的桿件還是用將鞍座和索融為一體的鞍座一索單元都不能讓主纜與鞍座的切點(diǎn)隨著主纜的受力情況而不斷改變，這時(shí)可以先不考慮鞍座的影響，計(jì)算出吊桿的應(yīng)力(這樣計(jì)算對吊桿力的誤差影響很小)，再通過數(shù)值解析法計(jì)算鞍座的修正，確定鞍座的位置。實(shí)踐證明這是一種行之有效的方法。以下將通過兩個(gè)不同跨徑的懸索橋空纜線形計(jì)算，說明使用這種方法時(shí)的關(guān)鍵性問題。
 

圖3 有限元計(jì)算流程圖

    4.算例

    懸索橋的跨徑布置千變?nèi)f化，有單跨雙鉸、三跨連續(xù)等多種形式。但只要知道懸索橋具體的結(jié)構(gòu)布置，其空纜狀態(tài)的線性分析基本方法還是相同的。本文以兩座不同跨徑的單跨雙鉸懸索橋?yàn)槔宜鳂蚩绽|線形計(jì)算的方法進(jìn)行了分析總結(jié)。

    4.1 寧波甬江慶豐橋空纜線形計(jì)算

    寧波甬江慶豐橋?yàn)橐蛔鶈慰珉p鉸雙塔雙主纜鋼箱加勁粱地錨式懸索橋，其總體布置見圖4?？鐝綖?80m，主纜矢跨比1/8。

    空纜狀態(tài)下的線形計(jì)算時(shí)，首先將一、二期恒載按照長度分配給每根吊桿，計(jì)算出各吊桿拉力，據(jù)此用數(shù)值方法計(jì)算成橋主纜線形、各索段無應(yīng)力長度，進(jìn)而計(jì)算鞍座的預(yù)偏量和空纜線形。根據(jù)成橋主纜線形和橋面標(biāo)高可以計(jì)算成橋吊桿長度，減去由于拉應(yīng)力產(chǎn)生的伸長量可以得到吊桿的無應(yīng)力長度。再據(jù)此計(jì)算各梁段的位置，用Ansys建立有限元模型，為了提高計(jì)算精度，將兩吊桿之間的主纜劃分成4個(gè)單元，每側(cè)邊跨主纜分成16個(gè)單元，每側(cè)錨跨主纜分成兩個(gè)單元，每根吊桿采用一個(gè)單元，主纜和吊桿都是采用LINK1單元。每個(gè)索塔按照截面變化分成3個(gè)單元，索塔采用BEAM54單元。主梁按照安裝節(jié)段分成56個(gè)單元，采用BEAM3單元。全橋共有237個(gè)單元，索塔頂端節(jié)點(diǎn)與主纜理論交點(diǎn)y方向的自由度耦合，散索鞍處節(jié)點(diǎn)的x和y方向位移滿足一定的約束方程，以模擬散索鞍的滑動(dòng)。采用全鉸接法前進(jìn)分析得到成橋狀態(tài)主纜線形、吊桿拉力及主梁內(nèi)力等數(shù)據(jù)。從有限元計(jì)算的結(jié)果可以看出，吊桿拉力與先前的假定值相比有較大的差別。再以非線性有限元計(jì)算得到的吊桿拉力用數(shù)值方法計(jì)算成橋主纜和空纜線形。再據(jù)此進(jìn)行有限元計(jì)算，反復(fù)進(jìn)行幾次計(jì)算直到二者計(jì)算的結(jié)果相差很小。
 

圖4 寧波甬江慶豐橋總體布置圖

    表1給出了各次計(jì)算的結(jié)果。從表中可以看出，第3次計(jì)算的結(jié)果與第2次計(jì)算的結(jié)果相比，數(shù)值方法計(jì)算的空纜線形、鞍座預(yù)偏量、主纜長度都相當(dāng)接近。數(shù)值方法計(jì)算的成橋主纜線形與有限元分析的最終成橋線形也十分接近，誤差最大的在跨中位置，豎向的誤差為7mm，這在實(shí)際工程中是完全可以接受的。由于寧波慶豐橋的橋面標(biāo)高是不對稱的，用有限元分析可以更準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況。
 

表1  寧波甬江慶豐橋計(jì)算結(jié)果
 

    通過以上的分析計(jì)算，對于這種跨度比較小的懸索橋，由先假定吊桿力，用數(shù)值分析的方法確定成橋主纜線形和空纜線形及各吊桿無應(yīng)力長度，據(jù)此建立有限元模型通過前進(jìn)分析得出成橋狀態(tài)，再與前面的假定比較。如果誤差較大，則以新的吊桿力代人重新計(jì)算，如此反復(fù)迭代，只需三次就能使誤差滿足要求，得到較精確的空纜線形，在此基礎(chǔ)上可以進(jìn)一步分析得到懸索橋在施工中各主要工況主纜線形和主梁受力情況等關(guān)心的數(shù)據(jù)。

    4.2 虎門懸索橋空纜線形計(jì)算

    虎門懸索橋是一座單跨雙餃懸索橋，總體布置見圖5。
 

圖5 虎門大橋總體布置圖

    與此前一樣，也是采用反復(fù)迭代的方法。有限元計(jì)算時(shí)全橋共分成367個(gè)單元。其中主纜采用LINK1單元，共分成143個(gè)單元。吊桿也采用LINK1單元，共72個(gè)單元。加勁梁采用BEAM3單元，共分成146個(gè)單元。兩索塔也采用BEAM3單元，各分成2個(gè)單元。另外用兩個(gè)剛度極大的LINK1單元分別模擬兩個(gè)散索鞍的轉(zhuǎn)動(dòng)。表2給出了計(jì)算結(jié)果，從表中數(shù)據(jù)可以看出第3次與第2次結(jié)果相當(dāng)接近，但跨中主纜標(biāo)高與設(shè)計(jì)值（圖5）仍存在一些差異。如果再次用第3次計(jì)算得到的吊桿力，重新用數(shù)值方法計(jì)算成橋主纜線形和空纜線形。得到的結(jié)果將和前一次相差無幾。

    這樣就很難得到準(zhǔn)確的空纜線形。所以，可以根據(jù)第3次計(jì)算得到的各吊點(diǎn)的縱向位移、跨中點(diǎn)的豎向位移和各鞍座的位移用數(shù)值分析方法反算各吊點(diǎn)空纜時(shí)的坐標(biāo)，再根據(jù)新的空纜線形建立有限元模型進(jìn)行非線性有限元分析，這樣就可以達(dá)到設(shè)計(jì)的成橋線形。具體計(jì)算結(jié)果見表3。主纜無應(yīng)力長度為1636．8m。
 

表2  虎門懸索橋計(jì)算結(jié)果（m）

表3  虎門懸索橋空纜線形計(jì)算結(jié)果（m）

    最后一次計(jì)算得到的成橋主纜線形和鞍座位置與設(shè)計(jì)值很接近，誤差基本在工程實(shí)際應(yīng)用所允許的范圍內(nèi)。這說明本次計(jì)算所采用的空纜線形是可以接受的?？梢該?jù)此分析得到虎門懸索橋在施工中各主要工況主纜線形和主梁受力情況等。

    由于懸索橋空纜線形計(jì)算的數(shù)值分析法中很難計(jì)入溫度的影響因素，以上兩個(gè)算例中有限元計(jì)算時(shí)也沒有考慮溫度的影響，這主要是為了計(jì)算條件能與數(shù)值分析法相同，這樣才能比較計(jì)算結(jié)果。

    5.結(jié)論

    通過以上的分析計(jì)算可以得到以下一些結(jié)論：

    (1)將數(shù)值分析法和有限元法相結(jié)合，可以比較快地確定懸索橋的空纜線形。

    (2)對于跨徑在300m左右及以下的中小跨度懸索橋，無論用數(shù)值分析方法還是非線性有限元方法計(jì)算其空纜狀態(tài)主纜線形，結(jié)果比較接近。

    (3)對于跨徑在800m左右。甚至更大跨徑的大跨度懸索橋，用數(shù)值分析方法還是非線性有限元方法計(jì)算其空纜狀態(tài)主纜線形。結(jié)果有較大的差別。

    (4)用數(shù)值方法計(jì)算空纜線形時(shí)，不能將整個(gè)結(jié)構(gòu)體系作為一個(gè)整體分析。只有非線性有限元法才能得到以后各關(guān)鍵工況下的全橋各部分的線形和應(yīng)力狀態(tài)，所以懸索橋的空纜線形分析最終還是要與非線性有限元分析的結(jié)果吻合。

    (5)通過有限元計(jì)算發(fā)現(xiàn)，成橋時(shí)的吊桿拉力是很不均勻的，并不能簡單地用恒載集度按照吊桿間距直接分配給各吊桿，這一點(diǎn)尤其在大跨度懸索橋中表現(xiàn)得更加明顯。所以，第一次用數(shù)值分析法計(jì)算空纜線形時(shí)可以用平均分配的方法假定初始吊桿力，然后用有限元計(jì)算得到的真實(shí)吊桿力修正。

    參考文獻(xiàn)

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    [4] 潘永仁、范立礎(chǔ)：大跨度懸索橋加勁梁架設(shè)過程的倒拆分析法，同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001；(5)。