在經(jīng)典土壓力理論中，認(rèn)為土壓力呈線性分布，而工程實測結(jié)果和模型試驗表明，土壓力是曲線分布[1,2]。本文引用主應(yīng)力拱的概念，利用水平層分析法，對垂直墻背擋土墻后填土水平且無粘性條件下的土壓力分布進(jìn)行研。

1 主應(yīng)力拱及側(cè)向土壓力系數(shù)

1.1 擋土墻模型 為分析方便，取如圖1所示的擋土墻模型，假定：①ab、cd是二剛性平行墻背，相距B，墻面粗糙；②兩墻之間填土水平且無粘性；③在外力作用下，兩墻產(chǎn)生相向(背)運動，土體達(dá)到被(主)動極限狀態(tài)。

1.2 大主應(yīng)力拱應(yīng)力和理論被動土壓力系數(shù) 在擋土墻模型中，因問題的對稱性，兩墻中點E的大主應(yīng)力σ1為水平，而靠近邊墻的A、C點，因邊壁摩擦影響，大主應(yīng)力發(fā)生偏斜并與墻面形成θ=45°+φ/2的夾角[3],這就使兩墻之間的大主應(yīng)力跡線成為一條對稱的下凸曲線，稱為大主應(yīng)力拱，如圖2所示，其中φ為土體的內(nèi)摩擦角。大主應(yīng)力拱上E點和A、C點的應(yīng)力狀態(tài)可用莫爾應(yīng)力圓表示。
根據(jù)圖1，由A點微分單元水平力及垂直力的平衡條件可得將式(1)兩端同除以小主應(yīng)力σ3，并認(rèn)為土體處于朗金被動狀態(tài)，即σ1/σ3等于朗金被動土壓力系數(shù)Kp，式(1)變?yōu)?/p>

由圖2可知：σh=σ1+σ3-σv，將其代入式(3)，

式(3)除以式(4)，得到理論被動土壓力系數(shù)

 (5)
 

式中：σh、σv、τ分別為A點的水平應(yīng)力、垂直應(yīng)力和剪應(yīng)力。
對于光滑墻面，θ=90°，則Kp1=Kp；對于粗糙墻面，θ=45°+φ/2，則Kp1=(1+sin2φ)/(1-sin2φ)。若θ為大主應(yīng)力拱內(nèi)某點大主應(yīng)力與鉛垂直的夾角，以上各式即表示該點的應(yīng)力及其比值關(guān)系。

1.3 大主應(yīng)力拱形狀和實用被動土壓力系數(shù) 由圖2可見，大主應(yīng)力拱單元的邊界是由小主應(yīng)力面形成的曲面，為了滿足力矩平衡條件，大主應(yīng)力拱內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)保持為常量。假定土拱單元的厚度和土的容重不變，則大主應(yīng)力拱的形狀為一條懸鏈線，令墻土摩擦角δ等于土體的內(nèi)摩擦角φ，其方程為
在墻壁處，x=±1，其斜率為

由式(7)可以求得不同φ時的拱形參數(shù)a，結(jié)果見表1。根據(jù)φ及其對應(yīng)的a，可由式(6)繪出大主應(yīng)力拱的曲線，由式(3)～式(5)繪出σh/σ3、σv/σ3、σh/σv應(yīng)力比值曲線，見圖3。為了實用，對不同的φ，利用式(4)求大主應(yīng)力拱內(nèi)平均垂直應(yīng)力σav與σ3的比值，經(jīng)數(shù)值分析，當(dāng)φ=0°～40°時，σav/σ3=1.00～1.24。則實用的被動土壓力系數(shù)為

垂直墻背擋土墻后的土體到達(dá)被動極限狀態(tài)時，忽略墻背對土體的影響，土體內(nèi)破裂面 上各點的應(yīng)力狀態(tài)與圖1中E點的應(yīng)力狀態(tài)相同，三角形滑動土楔內(nèi)的大主應(yīng)力拱近似為上述 曲線之半，擋土墻被動土壓力系數(shù)可由式(8)計算。
 表1 不同內(nèi)摩擦角時的拱形參數(shù)
 
內(nèi)摩擦角φ/o
 拱形參數(shù)a
 
 
（a）拱曲線
 （b）被動狀態(tài)時拱內(nèi)應(yīng)力比值曲線
 
圖3 拱曲線及應(yīng)力比值曲線
 

1.4 小主應(yīng)力拱及主動土壓力系數(shù) 由分析可知，土體模型中的二平行墻產(chǎn)生向背運動，并使土體達(dá)到主動極限狀態(tài)時，小主應(yīng)力跡線形成的小主應(yīng)力拱與大主應(yīng)力拱有完全一樣的形狀，此時，兩平行墻給土體的剪應(yīng)力向上，圖2中的大主應(yīng)力拱變成了小主應(yīng)力拱，莫爾應(yīng)力圓中的σh和σv互換，拱內(nèi)應(yīng)力及其關(guān)系為

理論主動土壓力系數(shù)為式中：Ka為朗金主動土壓力系數(shù)；θ為小主應(yīng)力與鉛垂直的夾角；其余符號意義同前。Ka1和Kp1互為倒數(shù)。
實用主動土壓力系數(shù)為
2 土壓力公式

2.1 被動土壓力 被動極限狀態(tài)下，墻后滑動土楔如圖4所示，β為土體內(nèi)破裂面與鉛垂面的夾角。在楔體內(nèi)某一深

圖4 土契內(nèi)的水平層單元

度h處，取一水平薄層單元，其上的作用力包括平均垂直土壓力(平均垂直應(yīng)力)q、單元重力dw、墻體和穩(wěn)定土體對土楔的分布作用力p1、p2。由水平薄層單元水平力的平衡條件得由豎直力的平衡條件得

略去二階微量，注意到p1=Kpwq/cosδ，將式(15)代入，式 (16)變?yōu)?/p>

式中：γ為回填土的重度；D=1-KpwG,G=[tan(β-φ)-tanδ]/tanβ。
為簡單起見，取邊界條件h=0時，q=0，得微分方程(16)的特解

被動土壓力的分布p與p1大小相等、方向相反：對式(19)進(jìn)行積分，得被動土壓力的合力,由力矩法可求得合力作用點到墻底的距離

為使合力P最大，令dP/d(tanβ)=0，得破裂面與鉛垂面夾角β之值

式中：n1=1-tanδtanφ；n2=tanδ+tanφ；n3=tanφ。

2.2 主動土壓力 分析表明，主動狀態(tài)時的土壓力分布、合力以及其作用點高度的計算表達(dá)式與被動土壓力完全相同，但此時需用Kaw代替Kpw，G和tanβ的計算式應(yīng)分別改為

3 驗證分析

利用前蘇聯(lián)學(xué)者查嘎列爾[1]的主動土壓力試驗數(shù)據(jù)，對本文公式進(jìn)行驗證分析。試驗用擋土墻高4.0m，墻后填土為海沙，φ=37°?，γ=18kN/m3，δ=27°～37°，主動極限狀態(tài)時測得的主動土壓力分布如圖5中虛線，合力作用點高度為1.6m。利用本文公式，取δ＝27°所求主動土壓力分布如圖中實線，合力作用點高度為1.8m。
兩條曲線十分接近。文中公式所得主動和被動土壓力的合力與庫侖解相等，但合力作用點到墻底的距離不是定值H/3。主動土壓力呈凸曲線分布，其合力作用點高度為(1/3～1/2)H，與文獻(xiàn)[1]中的許多試驗結(jié)果相吻合。被動土壓力呈凹曲線分布，其合力作用點高度小于H/3。

4 結(jié) 論

(1)大、小主應(yīng)力拱形狀相同，均可用懸鏈線表示。理論主動土壓力系數(shù)和理論被動土壓力系數(shù)互為倒數(shù)。(2)根據(jù)假定，文中公式可使用于填土水平且無粘性的垂直墻背重力式擋土墻。主動和被動土壓力的計算公式形式相同，但參數(shù)不同。(3)水平層分析法以庫侖假定為前提，故本文所得土壓力合力與庫侖解相等，但合力與側(cè)壓力系數(shù)無關(guān)。(4)墻背垂直時，主動土壓力呈凸曲線分布，其合力作用點高度大于H/3；被動土壓力呈凹曲線分布，其合力作用點高度小于H/3。